高等数学

Wang Haihua

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联合概率

定义

联合概率(Joint probability) 被定义为

$$ P(A\cap B) = P(A)P(B) $$

当我们在讨论联合概率时，其实 潜在地假设

1. A 和 B 是相互独立地事件
2. A 和 B 同时发生

如果 A 和 B 不独立, 意味着两个事件之间存在相互影响。换句话说，如果A 和 B 不独立，当A发生时，B发生的概率就不再是$P(B)$。我们也不能写成$P(AB) = P(A)P(B)$

例子

抛硬币6次，前3次为正面后3次反面的概率是多少?

我们可以定义事件

• A：扔一次硬币出现正面
• B：扔一次硬币出现反面 假设每次扔硬币的结果不受其他次扔硬币的影响，我们可以使用联合概率计算， $$ P(BBBAAA)= .5^6 = 0.015625 $$

条件概率

定义

条件概率(Conditional probability)可表示为

$$ P(B|A)= \frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{P(A\cap B)}{P(A\cap B)+P(A\cap B^C)} $$

读作, 在事件A发生的情况下事件B发生的概率. 这里我们将事件A视为一个事实，它要么发生，要么不发生. $B^C$ 表示事件 $A$的对立事件, 我们有 $P(B^C)+P(B) =1 $

例子

我们掷两次骰子，得到两个数字$X_1= a$和$X_2= b$。 已知$a+b=7$，那么$a=4$或$b=4$的概率是多少?

我们目标是求出$p(a=4|a+b=7)$ 和 $p(b=4|a+b=7)$. 设事件

• $A$ : $a = 4$ 或 $b = 4$
• $B$ : $a+b = 7$

有两种情况可以得到 7,(a,b) = (3, 4) 或 (a,b)=(4, 3).

扔两次骰子总共有 $6^2 = 36$ 组合, 得到和为 7 的有 6 种组合: $$(1, 6), (2, 5), (3,4), (4,3), (5,2),(6, 1)$$.

$$\frac{P(A\cap B)}{P(B)}= \frac{2}{36}\Big/\frac{6}{36}=\frac{1}{3}$$

全概率公式

定义

如果 $B_{1}, B_{2}, B_{3}, \cdots B_k$ 是样本空间 $S$ 的一个划分, 那么对于任意一个事件 $A$ 我们有

$$ P(A)=\sum_{i=1}^k P\left(A \cap B_{i}\right)=\sum_{i=1}^k P\left(A | B_{i}\right) P\left(B_{i}\right) $$

这个公式就被称为 全概率公式(Law of total probability)

例子

一个人从事采矿作业。 有雨和无雨情况下按时完成作业的概率分别为0.42和0.90。 如果下雨的概率是0.45，那么按时完成采矿作业的概率是多少？

设事件

• R: 天下雨
• C: 按时完成采矿作业 完成采矿作业有两种具体情况，一种是下雨情况下按时完成，另一种是不下雨情况下按时完成，两种概率和即是所求，所以

$$p(C) = p(C|R)p(R) + p(C|R^c)p(R^c) = .42\times .45 + .9\times .55$$

小结

本文介绍了联合概率、条件概率的概念，并且在条件概率的基础上提出了全概率公式。这些都为贝叶斯公式的学习做了铺垫。